元請さんも年度末で工事や所用が集中したりしてなかなか忙しい、などいろんな事情があると思いますが、下請さんも、完成した工事の管理責任をいつまでも負っているわけにはいかず...どうすれば良いのでしょうか。

これは建設業法上に規定があります。

元請負人は、下請負人からその請け負わせた工事の完成の通知を受けたときは、当該通知を受けた日から20日以内でかつ、できる限り短い期間内にその完成を確認するための検査を完了しなければなりません。

また、検査が完了すると下請負人は引渡しを申し出ますが、下請負人がそれを申し出たときは、元請負人は当該建設工事の目的物の引渡しを直ちに受けなければなりません。ただし、下請契約で定めた工事完成の時期から、20日以内の一定の日に引渡しを受ける特約がある場合はそれに従います。
いずれにしても、工事完成の通知から20日以内に検査〜引渡しと進めるように定められています。

以下に原文を掲載します。

（検査及び引渡し）
第二十四条の四 　元請負人は、下請負人からその請け負つた建設工事が完成した旨の通知を受けたときは、当該通知を受けた日から二十日以内で、かつ、できる限り短い期間内に、その完成を確認するための検査を完了しなければならない。
２ 　元請負人は、前項の検査によつて建設工事の完成を確認した後、下請負人が申し出たときは、直ちに、当該建設工事の目的物の引渡しを受けなければならない。ただし、下請契約において定められた工事完成の時期から二十日を経過した日以前の一定の日に引渡しを受ける旨の特約がされている場合には、この限りでない。

※なお、この条文が規定するのは元請負人と下請負人との間の関係だけで、発注者と元請負人との間の「検査〜引渡し」は、法第19条第1項8号より、工事請負契約書中で定めることになっております。